header.phpを子テーマにコピーして子テーマのheader.phpを編集すれば良いと思います。
ヘッダートップは下記のチェックボックスを入れることで無効化できます。
外観 > カスタマイズ > Lightning ヘッダー上部設定 > ヘッダー上部エリアを表示しない
もしくは下記コードでヘッダートップの機能そのものを無効化することも可能です。
add_action(
'after_setup_theme', function() {
remove_action( 'after_setup_theme', array( 'Lightning_header_top', 'header_top_add_menu' ) );
remove_action( 'lightning_header_prepend', array( 'Lightning_header_top', 'header_top_prepend_item' ) );
remove_action( 'customize_preview_init', array( 'Lightning_header_top', 'header_top_add_script' ) );
remove_action( 'wp_enqueue_scripts', array( 'Lightning_header_top', 'header_top_add_css' ) );
}
);