まず WordPressでは投稿詳細ページにおけるテンプレートファイルの読み込み順は
single-xxx.php -> single.php -> singular.php -> index.php
となっています。
Lightnig には single.php も singular.php もないので index.php が読み込まれます。
投稿タイプ毎に何かしたい場合、多くのケースはヘッダーやフッターを変更したいわけではなく、本文欄周辺がメインになるのではと思います。
そのあたりに該当するファイルは G3 では
_g3/template-parts/entry.php
になるので、
_g3/template-parts/entry-xxx.php
などになると思います(具体的にどの部分をカスタマイズしたいかによるので上記ファイルじゃないかもしれません)。
が、もしわかるようなら、テンプレートのファイルの複製・編集ではなく、アクションフックを使ったカスタマイズをオススメしています。
アクションフックの使い方
https://www.vektor-inc.co.jp/post/wordpress-about-action-hook/
アクションブックのもっと簡単な使い方例が記載されてます
My Lightningはいかが?
全体的なカスタム投稿タイプ・カスタムフィールドの追加例は下記が参考になると思います。
VWSオンライン勉強会 #022 「Lightningで物件情報サイトを作ってみよう」レポート
https://github.com/vektor-inc/lightning-g3-lesson-real-estate#%E3%82%AB%E3%82%B9%E3%82%BF%E3%83%A0%E3%83%95%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%89%E3%81%AE%E7%99%BB%E9%8C%B2%E8%A1%A8%E7%A4%BA