前の記事 次の記事 のアイキャッチに掲載されるカテゴリ名が違う

この箇所はLightningの「前の記事」「次の記事」を表示する箇所なので、カテゴリーに関係なく新旧の記事を表示するエリアになります。

ExUnitの関連記事を表示する機能はタグを基準に同じタグの記事を関連記事として表示します。

「前の記事」「次の記事」を同じカテゴリーにカスタマイズする事はできますが、
ちょっと現状のLightningの仕様を弊社で少し変更した方が効率的にカスタマイズはできる状況です。
とは言え、他の優先順位の高い作業もあるので、そもそもタグの指定で要望事項が解決するか、それとも、前の記事、次の記事が同じカテゴリーでなければダメなのかご確認ください。

ちょっと再現しなかったのですが、改めて確認ですが、仕様としては

* ExUnitの関連記事 -> 表示している投稿と同じタグの記事を本文下部に表示
* 本文下部のタグ名・カテゴリー名 -> 表示している投稿のタグ名・カスタム分類名（カテゴリー）
* 前の記事 次の記事 -> 表示している投稿の前の記事・次の記事を表示
（カテゴリーは無関係 / 上記のタグ名・カテゴリー名とも無関係）

という仕様です。
この仕様と違う動作をしているのか、それとも、上記仕様になっているが、
別の動作にしたいかどちらでしょう？

前の記事。次の記事 に表示されている画像上に表示されているカテゴリのラベルが、
その画像の記事のカテゴリ名と違うという事ですね。
症状確認いたしました。
検証・修正いたしますので今しばらくお待ちください。